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1．和差倍问题
和差问题 和倍问题 差倍问题
已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数几个数的差与倍数
公式适用范围 已知两个数的和，差，倍数关系
公式：
①÷2=较小数
较小数＋差=较大数小学奥数非常简单，就这30个要点
和－较小数=较大数
②÷2=较大数
较大数－差=较小数
和－较大数=较小数
和÷=小数
小数×倍数=大数
和－小数=大数
差÷=小数
小数×倍数=大数
小数＋差=大数
重点问题：求出同一条件下的和与差 和与倍数 差与倍数
2．年龄问题的三个基本特点：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时降低的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
3．归一问题的基本特征：
问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照如此的速度”……等词汇来表示。
重点问题：依据题目中的条件确定并求出单一量；
4．植树问题
基本种类 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树
基本公式 棵数=段数＋1
棵距×段数=总长 棵数=段数－1
棵距×段数=总长 棵数=段数
棵距×段数=总长
重点问题 确定所属种类，从而确定棵数与段数的关系
5．鸡兔同笼问题
基本定义：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不一样的差，找出这个差是多少；
③每一个事物导致的差是固定的，从而找出出现这个差是什么原因；
④再依据这两个差作适合的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
重点问题：找出总量的差与单位量的差。
6．盈亏问题
基本定义：适量的对象，根据某种标准分组，产生一种结果：根据另一种标准分组，又产生一种结果，因为分组的规范不同，导致结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
基本思路：先将两种分配策略进行比较，剖析因为标准的差异导致结果的变化，依据这个关系求出参加分配的总份数，然后依据题意求出对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；
基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特征：对象总量和总的组数是不变的。
重点问题：确定对象总量和总的组数。
7．牛吃草问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，依据两次不一样的食用方法，求出其中的总草量的差；再找出导致这种差异是什么原因，即可确定草的成长速度和总草量。
基本特征：原草量和新草成长速度是不变的；
重点问题：确定两个不变的量。
基本公式：
成长量=（较长期×长期牛头数-较短期×短期牛头数）÷（长期-短期）；
总草量=较长期×长期牛头数-较长期×成长量；
8．周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特点有规律循环出现。
周期：大家把连续两次出现所经过的时间叫周期。
重点问题：确定循环周期。
闰 年：一年有366天；
①年份能被4整除；②假如年份能被100整除，则年份需要能被400整除；
平 年：一年有365天。
①年份不可以被4整除；②假如年份能被100整除，但不可以被400整除；
9．平均数问题
基本公式：①平均数=总数目÷总份数
总数目=平均数×总份数
总份数=总数目÷平均数
②平均数=基准数＋每个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数目与总份数，借助基本公式①进行计算.
②基准数法：依据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这类差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。
10．抽屉原理
抽屉原则1、假如把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那样必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那样就有以下四种状况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
察看上面四种放物体的方法，大家会发现一个一同特征：总有那样一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则2、假如把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那样必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m ]+1个物体：当n不可以被m整除时。
②k=n/m个物体：当n能被m整除时。
理解要点：[X]表示低于X的最大整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
重点问题：架构物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
11．概念新运算
基本定义：概念一种新的运算符号，这个新的运算符号包括有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格根据新概念的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后根据基本运算过程、规律进行运算。
重点问题：正确理解概念的运算符号的意义。
需要注意的地方：①新的运算未必符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每一个新概念的运算符号只能在本题中用。
12．数列求和
基本公式：通项公式：an = a1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1) 公差；
数列和公式：sn,= n2；
数列和＝（首项＋末项）项数2；
项数公式：n= d＋1；
项数=（末项-首项）公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））（n－1）；
公差=（末项－首项）（项数－1）；
重点问题：确定已知量和未知量，确定用的公式；
13．二进制及其应用
十进制化成二进制：
①依据二进制满2进1的特征，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此办法一直找到差为0，根据二进制展开式特征即可写出。
14．加法乘法原理和几何计数
加法原理：假如完成一件任务有n类办法，在第一类办法中有m1种不同办法，在第二类办法中有m2种不同办法……，在第n类办法中有mn种不同办法，那样完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn种不一样的办法。
重点问题：确定工作的分类办法。
基本特点：每一种办法都可完成任务。
乘法原理：假如完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种办法，不管第1步用哪一种办法，第2步总有m2种办法……不管前面n-1步用哪种办法，第n步总有mn种办法，那样完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn种不一样的办法。
重点问题：确定工作的完成步骤。
基本特点：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿肯定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特征：没端点，没长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特征：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特征：只有一个端点；没长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15．质数与合数
质数：一个数除去1和它本身以外，没别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：一个数除去1和它本身以外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：假如某个质数是某个数的约数，那样这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。一般用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的规范表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1
求约数个数的公式：P=×××……×
互质数：假如两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
16．约数与倍数
约数和倍数：若整数a可以被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数公有些约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
比如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那样12和18的公约数有：1、2、3、6；
那样12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本办法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有些约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，可以整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有些倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……；
18的倍数有：18、36、54、72……；
那样12和18的公倍数有：36、72、108……；
那样12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本办法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的办法
17．数的整除
1、基本定义和符号：
1、整除：假如一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没余数，那样叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不可以整除符号“”；由于符号“∵”，所以的符号“∴”；
2、整除判断办法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：每个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
3、整除的性质：
1. 假如a、b能被c整除，那样（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2. 假如a能被b整除，c是整数，那样a乘以c也能被b整除。
3. 假如a能被b整除，b又能被c整除，那样a也能被c整除。
4. 假如a能被b、c整除，那样a也能被b和c的最小公倍数整除。
18．余数及其应用
基本定义：对任意自然数a、b、q、r，假如使得a÷b=q……r，且0
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
19．余数、同余与周期
1、同余的概念：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，假如m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b，读作a同余于b模m。
2、同余的性质：
①自己性：a≡a；
②对称性：若a≡b，则b≡a；
③传递性：若a≡b，b≡c，则a≡ c；
④和差性：若a≡b，c≡d，则a+c≡b+d，a-c≡b-d；
⑤相乘性：若a≡ b，c≡d，则a×c≡ b×d；
⑥乘方性：若a≡b，则an≡bn；
⑦同倍性:若a≡ b，整数c，则a×c≡ b×c；
3、关于乘方的预备常识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
4、被3、9、11除后的余数特点：
①一个自然数M，n表示M的每个数位上数字的和，则M≡n或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的每个奇数位上数字的和，Y表示M的每个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）；
5、费尔马小定理：假如p是质数（素数），a是自然数，且a不可以被p整除，则ap-1≡1。
20．分数与百分数的应用
基本定义与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份，表示如此的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示如此一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用办法：
①逆向思维办法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行考虑。
②对应思维办法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维办法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最容易见到的是转换成比率和转换成倍数关系；把不一样的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。容易见到的处置办法是确定不一样的标准为一倍量。
④假设思维办法：为知道题的便捷，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种状况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维办法：在变化的每个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量怎么样变化，而这个量是一直固定不变的。有以下三种状况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有些分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维办法：用一种量代替另一种量，从而使数目关系单一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间根据同分率变化的规律进行处置。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的情况。
21．分数大小的比较
基本办法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同，依据同分子分数大小和分母的关系比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，依据同分母分数大小和分子的关系比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有些分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差肯定时，分子或分母越大的分数值越大。
⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除去运用以上办法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较办法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：借助倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每个数与基准数比较。
22．分数拆分问题
1、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：
① =+；
②=+（d为自然数）；
23．完全平方数
完全平方数特点：
1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2. 除以3余0或余1；反之不成立。
3. 除以4余0或余1；反之不成立。
4. 约数个数为奇数；反之成立。
5. 奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6. 奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2
24．比和比率问题
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。
比值：比的前项除将来项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。
比率：表示两个比相等的式子叫做比率。a:b=c:d或
比率的性质：两个外项积等于两个内项积，ad=bc。
正比率：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。
反比率：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。
比率尺：图上距离与实质距离的比叫做比率尺。
按比率分配：把几个数按肯定比率分成几份，叫按比率分配。
25．综合行程问题
基本定义：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
重点问题：确定运动过程中的地方和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追准时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：重点是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：重点是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要办法：画线段图法
基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追准时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。
26．工程问题
基本公式：
①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；
②假设一个便捷的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），借助上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.
重点问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评：合久必分，分久必合。
27．逻辑推理
基本办法介绍：
①条件剖析—假设法：假设可能状况中的一种成立，然后根据这个假设去判断，假如有与题设条件矛盾的状况，说明该假设状况是不成立的，那样与他的相反状况是成立的。比如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那样a肯定是奇数。
②条件剖析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助剖析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不一样的对象与状况，察看表格内的题设状况，运用逻辑规律进行判断。
③条件剖析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等一定的状况，没连线则表示否定的状况。比如A和B两人之间有认识或不认识两种状况，有连线表示认识，没表示不认识。
④逻辑计算：在推理的过程中除去要进行条件剖析的推理以外，还要进行相应的计算，依据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
⑤简单总结与推理：依据题目提供的特点和数据，剖析其中存在的规律和办法，并从特殊状况推广到通常情况，并递推出有关的关系式，从而得到问题的解决。
28．几何面积
基本思路：
在一些面积的计算上，不可以直接运用公式的状况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要学会和记忆一些常规的面积规律。
常用办法：
1. 连辅助线办法
2. 借助等底等高的两个三角形面积相等。
3. 大胆假设（有的点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊地方上）。
4. 借助特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
29．立体图形
长 方 体
8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对的棱相等； S=2 V=abh =Sh
正 方 体
8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有棱相等； S=6a2 V=a3
圆柱体
上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形； S=S侧+2S底 S侧=Ch V=Sh
圆锥体
下底是圆；只有一个顶点；l:母线，顶点到底圆周上任意一点的距离； S=S侧+S底
S侧=rl V=Sh
球体 圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。 S=4r2 V=r3
30．时钟问题—快慢表问题
基本思路：
1、 根据行程问题中的思维办法解题；
2、 不一样的表当成速度不一样的运动物体；
3、 路程的单位是分格（表一周为60分格）；
4、 时间是标准表所经过的时间；
合理借助行程问题中的比率关系；
